MATRICI

În matematică, o matrice (plural matrice / matrici) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci masive n-dimensionale. Dacă m=n, matricea este pătrată.

Definiție

Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip {\displaystyle m\times n\!}{\displaystyle m\times n\!}) un tablou cu m linii și n coloane:{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\!}{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\!}

ale cărui elemente {\displaystyle a_{ij}\!}{\displaystyle a_{ij}\!} sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează și {\displaystyle A=\left(a_{ij}\right),\!}{\displaystyle A=\left(a_{ij}\right),\!} unde {\displaystyle i={\overline {1,m}}\!}{\displaystyle i={\overline {1,m}}\!} și {\displaystyle j={\overline {1,n}}.\!}{\displaystyle j={\overline {1,n}}.\!} Pentru elementul {\displaystyle a_{ij},\!}{\displaystyle a_{ij},\!} indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricelor de tip {\displaystyle m\times n\!}{\displaystyle m\times n\!} cu elemente numere reale se notează prin {\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {R} ).\!}{\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {R} ).\!} Aceleași semnificații au și mulțimile {\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {Z} ),M_{m,n}(\mathbb {Q} ),M_{m,n}(\mathbb {C} ).\!}{\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {Z} ),M_{m,n}(\mathbb {Q} ),M_{m,n}(\mathbb {C} ).\!}

CERCUL

În geometria euclidiană, cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan, egal depărtate de un punct fix numit centru. Distanța comună este denumită de obicei raza cercului.

Cercurile sunt curbe simple închise, care separă astfel planul în două regiuni, interior și exterior.

Un cerc este un caz particular de elipsă, în care lungimile axelor sunt egale (și deci cele două focare se confundă). Astfel, cercurile sunt, ca și elipsele, conice; mai precis sunt secțiuni ale unui con circular drept cu un plan perpendicular pe axa acestuia.

Aria discului de cerc

{\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}}{\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}}

unde A este aria cercului, r este raza cercului, d este diametrul cercului, {\displaystyle \pi }{\displaystyle \pi } este o constantă matematică.

Circumferința cercului

{\displaystyle c=\pi D=2\pi \cdot r}{\displaystyle c=\pi D=2\pi \cdot r}

Aria unui sector de cerc

{\displaystyle A_{sect}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot n}{360}}}{\displaystyle A_{sect}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot n}{360}}}

unde Asect este aria sectorului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat in grade, iar {\displaystyle \pi }{\displaystyle \pi } este o constantă matematică.

Lungimea unui arc de cerc

{\displaystyle L_{arc}={\frac {\pi \cdot r\cdot n}{180}}}{\displaystyle L_{arc}={\frac {\pi \cdot r\cdot n}{180}}}

unde Larc este lungimea arcului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat în grade, iar {\displaystyle \pi }{\displaystyle \pi } este o constantă matematică.

Ecuații

Coordonate carteziene

Cerc cu raza r = 1, centru (a, b) = (1.2, -0.5)

Într-un sistem de coordonate x-y, cercul cu centrul (a, b) și raza r reprezintă mulțimea tuturor punctelor (x, y) astfel încât{\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.}{\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.}

Această ecuație rezultă din teorema lui Pitagora aplicată la orice punct de pe circumferința: raza este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, a cărui catene au lungimile x – a și y – b. Dacă cercul are centrul în origine (0, 0), atunci ecuația se simplifică la{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }

Această ecuație poate fi scrisă și parametric folosind funcțiile trigonometrice sinus și cosinus:{\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,\!}{\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,\!}{\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}{\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}

unde t este o variabilă parametrică, fiind interpretată geometric ca unghiul format de raza care unește punctul (x,y) cu originea (0,0) cu axa x. O parametrizare rațională este:{\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}{\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}{\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.}{\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.}

În coordonate omogene, fiecare secțiune conică cu ecuația cercului este de forma:{\displaystyle \ ax^{2}+ay^{2}+2b_{1}xz+2b_{2}yz+cz^{2}=0.}{\displaystyle \ ax^{2}+ay^{2}+2b_{1}xz+2b_{2}yz+cz^{2}=0.}

Poate fi demonstrat că o secțiune conică poate fi un cerc doar dacă punctele I(1: i: 0) și J(1: −i: 0) sunt în secțiunea conică. Aceste puncte mai sunt numite puncte circulare la infinitate.

Coordonate polare

În coordonate polare, ecuația cercului este:{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}

unde a este raza cercului, r0 este distanța de la origine la centrul cercului, și φ este unghiul măsurat trigonometric de la axa x la linia care conectează originea cu centrul cercului. Pentru un cerc cu centrul în origine, r0 = 0, aceasta se reduce la r = a. Cand r0 = a, sau când originea este pe cerc, ecuația devine{\displaystyle r=2a\cos(\theta -\varphi )}{\displaystyle r=2a\cos(\theta -\varphi )}.

În cazul general, ecuația poate fi rezolvată pentru r:{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\varphi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}}{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\varphi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}},

soluția cu un semn minus în fața rădăcinii pătrate având aceeași curbă.

Proiectează un site ca acesta, cu WordPress.com
Începe